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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 13.4 - Ex. 9

Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = < t , t 2 , t 3 >

Passo 1

Olá, querido e inteligente aluno. Vamos resolver juntos mais uma atividade hoje.

Dada a equação da posição:

r t = < t , t 2 , t 3 >

Vamos encontrar os vetores de velocidade, aceleração e vamos também encontrar a velocidade escalar dessa partícula.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = t , t 2 , t 3

Vamos calcular a velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Para esse caso, temos:

x t = t

y t = t 2

z t = t 3

Então substituindo na relação da velocidade:

v t = d d t t   , d d t t 2 , d d t t 3

v t = 1,2 t , 3 t 2

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Para esse caso, temos:

x ' t = 1

y t = 2 t

z t = 3 t 2

v t = 1 + 2 t 2 + 3 t 2 2

v t = 1 + 4 t 2 + 9 t 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Isso é, a derivada primeira da velocidade ou a derivada segunda da posição:

v t = 1,2 t , 3 t 2

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   < 0,2 , 6 t >

Resposta

v t = < 1,2 t , 3 t 2 >

v t = 1 + 4 t 2 + 9 t 4

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   < 0,2 , 6 t >

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Dar o domínio das seguintes funções vetoriais:vec r (x , y , z) = sqrt(2 - x^2 - y^2) vec i + sqrt(1 - x^2 - y^2) vec j + z vec k
Dar o domínio das seguintes funções vetoriais:vec g (x , y) = (1)/(x) vec i + x y vec j
Seja vec f (t) = sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k e h (t) = (1)/(t) . Calcular:(a) underset(t - 0)(lim) [ vec f (t) ]
Seja vec f (t) = sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k e h (t) = (1)/(t) . Calcular:(b) underset(t - 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(a) lim t → π ⁡ [ cos ⁡ t i → + t 2 j → - 5 k → ]