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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 14

Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = t sin ⁡ t i + t cos ⁡ t   j + t 2 k

Passo 1

E aí, pessoal. Beleza?

Nessa questão nós temos o vetor posição da partícula e queremos obter velocidade, aceleração e a velocidade escalar.

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = ⟨ x t , y t , z t ⟩

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x t d t , d y t d t , d z t d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x t d t 2 , d 2 y t d t 2 , d 2 z t d t 2

Então nosso trabalho vai ser calcular um tanto de derivadas e aplicar nas definições.

Vamos lá!

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = t s e n ( t ) i + t c o s ( t )   j + t 2   k

Aplicando a definição de velocidade, podemos derivar componente a componente do vetor posição:

v t = d d t t s e n t   i + d d t t c o s t   j + d d t t 2   k

Utilizando a regra do produto algumas vezes, obteremos:

v t = s e n t + t c o s ( t )   i + cos ⁡ t - t s e n t     j + ( 2 t )   k

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = s e n t + t c o s ( t ) 2 + cos ⁡ t - t s e n t 2 + 2 t 2

v t = s e n 2 t + 2 t s e n t cos ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ ( t ) + cos 2 ⁡ ( t ) - 2 t s e n t cos ⁡ t + t 2 s e n 2 t + 4 t 2

Cancelando os termos opostos, escrevemos

v t = s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) + t 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 4 t 2

Usando a relação fundamental da trigonometria, obtemos:

v t = 1 + 5 t 2

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d d t s e n t + t c o s ( t )   i + d d t cos ⁡ t - t s e n t j + d d t 2 t k

Novamente, usando algumas vezes a regra do produto, teremos:

a t = cos ⁡ t + cos ⁡ t - t s e n t i - s e n t - s e n t - t c o s ( t )   j + 2   k

a t = 2 cos ⁡ t - t s e n t i - 2 s e n t - t c o s ( t ) j + 2 k

Resposta

v t = s e n t + t c o s ( t )   i + cos ⁡ t - t s e n t     j + ( 2 t )   k

v t = 1 + 5 t 2

a t = 2 cos ⁡ t - t s e n t i - 2 s e n t - t c o s ( t ) j + 2 k

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