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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Ex. 15

Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.

a t = i + 2 j ,           v 0 = k ,           r 0 = i

Passo 1

Quando temos a aceleração de um objeto do tipo:

a t = a x t i + a y t j + a z t k

A velocidade dessa partícula é:

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

E a posição dela é:

r t = ∫ v x t d t   i + ∫ v y ( t ) d t   j + ∫ v z t d t   k

Sendo v x , v y , v z as componentes da velocidade.

Passo 2

Queremos saber a velocidade e posição da seguinte partícula:

a t = i + 2 j v 0 = k r 0 = i

Vamos descobrir a velocidade da partícula

v t = ∫ a x ( t ) d t   i + ∫ a y t d t   j + ∫ a z t d t   k

v t = ∫ 1 d t   i + ∫ 2 d t   j + ∫ 0 d t   k

v t = ( t + C 1 ) i + ( 2 t + C 2 ) j + C 3 k

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 1 ,   C 2 e C 3 :

v 0 = 0 i + 0 j + 1 k

C 1 i + C 2 j + C 3 k = 0 i + 0 j + 1 k

C 1 = 0 ,     C 2 = 0 ,     C 3 = 1

Assim, a velocidade da partícula é:

v t = t i + 2 t j + k

Passo 3

Vamos calcular agora a posição da partícula:

r t = ∫ t d t   i + ∫ 2 t d t   j + ∫ 1 d t   k

r t = t 2 2 + C 4   i + ( t 2 + C 5 )   j + ( t + C 6 )   k

Agora vamos calcular o valor das constantes de integração C 4 , C 5 e C 6 :

r 0 = i

C 4 i + C 5 j + C 6 k = i

C 4 = 1 ,     C 5 = 0 ,     C 6 = 0

Assim a posição da partícula é:

r t = t 2 2 + 1   i + ( t 2 )   j + ( t )   k

Resposta

v t = t i + 2 t j + k

r t = t 2 2 + 1   i + ( t 2 )   j + ( t )   k

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