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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 4

Calcule os limites.

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k

Passo 1

Para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada componente.

Passo 2

Vamos iniciar simplificando as equações para colocar nos limites.

Somente na componente em x precisa de uma simplificação.

x t = t ² - t t - 1

Simplificamos a expressão fatorando o numerador:

x t = t t - 1 t - 1

x ( t ) = t

Passo 3

Vamos aplicar o limite.

Limite da componente i :

lim t → 1 ⁡ t = 1

Limite da componente j :

lim t → 1 ⁡ t + 8 = 9 = 3

Limite da componente k :

lim t → 1 ⁡ s e n   π t ln ⁡ t

Se substituirmos t = 1 no numerador e no denominador temos que ambos vão para zero, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

lim t → 1 ⁡ π   c o s   π t 1 / t = lim t → 1 ⁡ π t cos ⁡ π t = π cos ⁡ π = - π

Passo 4

Desta forma: lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

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