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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 58a

Calcule as integrais no Exercício 57 quando m   e n denotam o mesmo inteiro não negativo.

∫ 0 2 π sen ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0

Passo 1

Agora a ideia é que m = n . Então podemos escrever:

∫ s e n   m x cos ⁡ m x   d x

Podemos usar a substituição:

u = s e n   m x

d u d x = m cos ⁡ m x ∴ d u m = cos ⁡ m x

Substituindo na nossa integral, ficamos com:

∫ u m d u = u 2 2 m

Voltando para x :

∫ s e n   m x cos ⁡ m x   d x = s e n 2 m x 2 m

Passo 2

Mas a nossa integral é definida, então tem mais continha para fazer. Se a gente lembrar que 0 e 2 π são pontos coincidentes, e que como m é inteiro, m 2 π também vai ser um ponto coincidente com 0 , nossa integral fica:

∫ 0 2 π s e n   m x cos ⁡ m x d x = s e n 2 m x 2 m ​ 0 2 π = 0

Resposta

∫ 0 2 π s e n   m x cos ⁡ m x d x = 0

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