Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 10

Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.

10. ∫ y 2   d x + x 2   d x

C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Essa integral de linha pode ser escrita como:

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ F ∙ d r

Onde F = y 2 i + x 2 j e d r = d x   i + d y   j . Para esta curva podemos usar a parametrização

r t = 2 cos ⁡ t i + 2 sen ⁡ t j ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Com isso,

d r d t = - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j

Portanto, temos a seguinte integral de linha,

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π F r t ∙ d r d t d t

Nosso trabalho agora é resolver a integral.

Passo 2

Podemos escrever essa integral da seguinte forma:

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π 4 sen 2 ⁡ t i + 4 cos 2 ⁡ t j ∙ ( - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j ) ∙ d t

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π - 8 sen 3 ⁡ t + 8 cos 3 ⁡ t   d t

Com isso,

∫ y 2   d x + x 2   d x = - 8 ∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t sen ⁡ t   d t + 8 ∫ 0 2 π 1 - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t   d t

Que tem como resultado

∫ y 2   d x + x 2   d x = 8 cos ⁡ t - cos 3 ⁡ t 3 + sen ⁡ t - sen 3 ⁡ t 3 0 2 π = 0

Portanto,

∫ y 2   d x + x 2   d x = 0

Resposta

∫ y 2   d x + x 2   d x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longoda curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).
Nos Exercícios 35 e 36, encontre o trabalho realizado por cada campo ao longo dos caminhos de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) no Exercício 135. F = 2 x y i + x 2 j + k
Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)Área de um heli
A figura a seguir mostra dois caminhos poligonais no espaço que ligam a origem ao ponto ( 1,1 , 1 ) . Integre f x , y , z = 2 x - 3 y 2 - 2 z + 3 sobre cada caminho