Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.

10. ∫ y 2   d x + x 2   d x

C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Essa integral de linha pode ser escrita como:

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ F ∙ d r

Onde F = y 2 i + x 2 j e d r = d x   i + d y   j . Para esta curva podemos usar a parametrização

r t = 2 cos ⁡ t i + 2 sen ⁡ t j ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Com isso,

d r d t = - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j

Portanto, temos a seguinte integral de linha,

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π F r t ∙ d r d t d t

Nosso trabalho agora é resolver a integral.

Passo 2

Podemos escrever essa integral da seguinte forma:

  ∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π 4 sen 2 ⁡ t i + 4 cos 2 ⁡ t j ∙ ( - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j ) ∙ d t

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ y 2   d x + x 2   d x = ∫ 0 2 π - 8 sen 3 ⁡ t + 8 cos 3 ⁡ t   d t

Com isso,

∫ y 2   d x + x 2   d x = - 8 ∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t sen ⁡ t   d t + 8 ∫ 0 2 π 1 - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t   d t

Que tem como resultado

∫ y 2   d x + x 2   d x = 8 cos ⁡ t - cos 3 ⁡ t 3 + sen ⁡ t - sen 3 ⁡ t 3 0 2 π = 0

Portanto,

∫ y 2   d x + x 2   d x = 0

Resposta

∫ y 2   d x + x 2   d x = 0

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