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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Questões para guiar sua revisão - Ex. 13

Como se calcula a área de uma superfície parametrizada no espa-

ço? E de uma superfície implicitamente definida F(x, y, z) = 0?

E da superfície que é o gráfico de z = ƒ(x, y)? Dê exemplos

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe como podemos calcular a área de uma superfície parametrizada no espaço? De uma superfície implícita definida F ( x , y , z ) = 0 ? E de uma superficie no gráfico z = f ( x , y ) ? Vamos dar alguns exemplos. Acompanhe!

Passo 2

Na seção 16.5, temos uma parte separada que se destina somente ao cálculo de áreas em superficies. Primeiramente, nesta seção, define-se o que seria uma superficie parametrizada, observe:

Uma superfície parametrizada r ( u , v ) = f ( u , v ) i + g ( u , v ) j + h ( u , v ) k é suave se r u e r v são contínuas e se r u × r v nunca é zero no interior do parâmetro do domínio.

Passo 3

Assim, a área de uma superfície parametrizada

r ( u , v ) = f ( u , v ) i + g ( u , v ) j + h ( u , v ) k a ≤ u ≤ b , c ≤ v ≤ d  é:  A = ∬ R     r u × r v d A = ∫ c d     ∫ a b     r u × r v d u d v

Passo 4

Sua forma diferencial é:

d σ = r u × r v d u d v

Passo 5

Já a área superficial para uma superfície implícita é a área superficial F ( x , y , z ) = c sobre uma região plana, fechada e delimitada por, veja: ∬ R   | ∇ F | | ∇ F ⋅ p | d A , onde p é igual a i i, j , ou k normal à R e ∇ F ⋅ p ≠ 0 .

Passo 6

Para um gráfico do tipo z = f ( x , y ) sobre uma região R no plano x y possui a fórmula de área superficial

∬ R   f x 2 + f y 2 + 1 d x d y

Passo 7

Os exemplos 4,5 , 6,7 e 8 da seção 16.5 do livro texto são ideias para a aplicação dessas fórmulas. Portanto, temos aqui, a resolução do nosso exercício.

Resposta

Resposta nos passos.

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