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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 21

Nos Exercícios 19-22, encontre o trabalho realizado por F sobre a

curva na direção de t crescente

F = z i + x j + y k r ( t ) = ( s e n ⁡ t ) i + ( c o s ⁡ t ) j + t k , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos o trabalho realizado por F → = z i → + x j → + y k → ao longo do caminho sobre a curva dada por r → = ( s e n ⁡ t ) i → + ( c o s ⁡ t ) j → + t k → , com 0 ≤ t ≤ 2 π , utilizaremos a descrição teórica da página 373,374 e 375 do nosso livro.

Passo 2

Comecemos escrevendo F → ao longo de C como uma função de t ,

F → = t i → + ( s e n t ) j → + ( c o s ⁡ t ) k →

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = ( c o s ⁡ t ) i → - ( s e n ⁡ t ) j → + k →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = [ t i → + ( s e n ⁡ t ) j → + ( c o s ⁡ t ) k → ] ⋅ ( c o s ⁡ t ) i → - ( s e n ⁡ t ) j → + k → =   = t c o s ⁡ t - s e n 2 ⁡ t + c o s ⁡ t

Passo 3

O trabalho realizado é a integral de linha e assim encontramos o resultado deste exercício:

  ∫ a b     F ‾ ⋅ d r → d t d t = ∫ 0 2 π     t c o s ⁡ t - s e n 2 ⁡ t + c o s ⁡ t d t = ∫ 0 2 π     t c o s ⁡ t - 1 - c o s ⁡ 2 t 2 + c o s ⁡ t d t   = c o s ⁡ t + t s e n ⁡ t - t 2 + s e n ⁡ 2 t 4 + s e n ⁡ t 0 2 π = - π

Passo 4

Obs.: Para facilitar a integração foram usadas algumas identidades trigonométricas que podem ser encontradas no final do livro:

c o s 2 ⁡ t = 1 + c o s ⁡ 2 t 2 , s e n 2 ⁡ t = 1 - c o s ⁡ 2 t 2

A integral de ∫ t c o s ⁡ t d t é resolvida por partes, como segue:Consideremos:

u = t , d u = d t

d v = c o s ⁡ t d t , v = s e n ⁡ t

∫   t c o s ⁡ t d t = u v - ∫   v d u = t s e n ⁡ t - ∫   s e n ⁡ t d t = t s e n ⁡ t + c o s ⁡ t + C

Resposta

Resposta nos passos.

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