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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 11

Calcule int_C ( x y + y + z ) d s ao longo da curva r ( t ) = 2 t i + t j + ( 2 - 2 t ) k , 0 <= t <= 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral int ( x y + y + z ) d s sobre uma curva C , dada pela equação de reta parametrizada por vec r ( t ) = 2 t vec i + t overset(‾)(j) + ( 2 - 2 t ) vec k com 0 <= t <= 1 devemos lembrar da teoria encontrada na página 363 .

Passo 2

Assim, a integral int_c ( x y - y + z ) d s pode ser escrita como: int_0^1 f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t , onde f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) Esta é uma função contínua em C e |(d vec r)/(d t)| a velocidade instantânea sobre a curva C .Sendo a f ( x , y , z ) calculada para x ( t ) y ( t ) + y ( t ) + z ( t ) , com x = 2 t , y = t e z = 2 - 2 t , igual a f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) = x y + y + z = 2 t t + t + ( 2 - 2 t ) = 2 t^2 + t + 2 - 2 t = 2 t^2 - t + 2 .

Passo 3

Sendo a velocidade: vec v = (d vec r)/(d t) = 2 vec i + vec j - 2 vec k e o módulo de vec v igual a |(d vec r)/(d t)| = | 2 vec i + vec j - 2 vec k | = sqrt(2^2 + 1^1 + ( - 2 )^2) = 3 .

Passo 4

Com isso, podemos agora voltar na forma da integral dada por int_0^1 f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t .Fazendo as substituiç̃̃es de f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) e |(d vec r)/(d t)| calculados anteriormente, chegamos ao resultado da questão que é:

int_0^1 (2 t^2 - t + 2) 3 d t = (((2 t^3)/(3) - (t^2)/(2) + 2 t) 3|_0^1 = 3 ((2)/(3) - (1)/(2) + 2) = (13)/(2)

Resposta

Resposta nos passos.

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Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.vec v (x , y) = x^2 vec j
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,y )=i +( x-y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta a )y=x
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,y )=i +( x-y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta b )y=x-1
2 ) Considere o campo vetorial F ( x ,y )=i +( x-y ) j . Desenhe F(x, y) nos pontos da reta c )y=x-2