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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 5

Calcule a massa do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 2 , sabendo que a densidade no ponto x , y , z é o dobro da distância do ponto ao plano z = 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a massa do cilíndro utilizando a integral tripla. Para isso vamos precisar encontrar a densidade do cubo e aplicar os limites.

Passo 2

Bom, vamos começar! Precisamos descobrir qual é a função densidade. Pelo enunciado, sabemos que será o dobro da distância ao plano z = 0 . Também sabemos que a distância até esse plano é z , assim a densidade será δ x , y , z = 2 ⋅ z .

M = ∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z  

Reduzindo a integral tripla para uma dupla, ficamos com

∫ ∫ K ∫ 0 2 2 ⋅ z ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K z 2 0 2 ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K é x 2 + y 2 ≤ 4 . Aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral, temos que

M = 4 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 2 ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = 8 ⋅ π ⋅ 4 2 = 16 ⋅ π

Resposta

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 16 ⋅ π

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por z = x 2 + y 2 , z = 2
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T y + x 2 z d V Onde T é paralelepípedo retângulo 1 ≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤ 1 ,- 3 ≤ z ≤ 5 .
Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é o solido limitado por z = 0,y = z , y = 2 - x 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2 Sendo T é o solido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z= 2 .