Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Calcule a massa do cone x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 , sendo a densidade no ponto x , y , z proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a massa do cilíndro utilizando a integral tripla. Para isso vamos precisar encontrar a densidade do cubo e aplicar os limites.

Passo 2

Bom, vamos começar! Precisamos descobrir qual é a função densidade. Pelo enunciado, sabemos que será proporcional a distância até o eixo z . Também sabemos que a distância é dada por x 2 + y 2 , porém com uma constante de proporcionalidade, assim a densidade será δ x , y , z = k ⋅ x 2 + y 2 . Assim, temos que

M = ∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z  

Reduzindo a integral tripla para uma dupla, ficamos com

∫ ∫ K ∫ x 2 + y 2 1 k ⋅ x 2 + y 2 ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y = k ⋅ ∫ ∫ K x 2 + y 2 ⋅ z x 2 + y 2 1 ⋅ d x ⋅ d y =

= k ⋅ ∫ ∫ K x 2 + y 2 ⋅ 1 - x 2 + y 2 ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K é x 2 + y 2 ≤ 1 . Aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral, temos que

M = k ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 ρ 2 ⋅ 1 - ρ ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = k ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ 4 4 - ρ 5 5 0 1 = k 20 ⋅ 2 ⋅ π = π ⋅ k 10

Resposta

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = π ⋅ k 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é a região delimitada por z=4 - x 2 ,x = 0 ,y = 0 ,z = 0ey + z = 8 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x - 1 ) d V Onde T é solido delimitado pelos planos y + z = 8 ,- y + z = 8 ,x = 0 ,x = 4 ,z = 0 ,y = - 2ey = 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é o hemisfério da frente da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x 2 + y 2 ) d V Onde T é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é a região do primeiro octante limitada por z 2 + y 2 = 2,y = 2 x ,x = 0 .