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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2q

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2

Passo 1

O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos fácilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos ?

A primeira equação, devemos nos atentar que se trata de uma esfera, de raio 1 e centrada em 0,0 , 1 . A segunda equação é um paraboloide. Já podemos ver também que a projeção da nossa superfície é uma circunferencia, onde o raio é definido pela igualdade das duas funções (mas rlx, vamos explicar melhor daqui a pouco)

Dica: Use o Geogebra para plotar o gráfico. Mas vamos mostrar que não existe a necessidade de faze-lo aqui, se soubermos a definição.

Passo 2

Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por

V = ∭ B d x   d y   d z

Até aqui, só a definição. B seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.

Entretanto perceba que z já está “definido”, mas vamos melhorar um pouco

x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1

Pode se reescrito como

z - 1 2 ≤ 1 - x 2 - y 2 → z - 1 ≤ 1 - x 2 - y 2

Ou seja

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 + 1 - x 2 - y 2

Feio, mas seguindo, dizemo que o volume pode ser escrito como

V = ∬ R d x   d y ∫ x 2 + y 2 1 + 1 - x 2 - y 2 d z

Sabemos que a integral de d z é z então

V = ∬ R 1 + 1 - x 2 - y 2 - x 2 + y 2 d x   d y = ∬ R [ 1 - x 2 - y 2 + ( 1 - x 2 - y 2 ) ] d x   d y  

Onde R é a projeção do nosso volume no plano x y . Importante nos sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.

Perceba que nossa projeção se encontra em

1 + 1 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2

O que implica em

1 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2 - 1

Complicado né... é feio e bonito ao mesmo tempo.

Vamos já parametrizar para facilitar um pouco nossa analise. Assim tome x = r cos ⁡ θ e y =   r   s e n θ . Assim

1 - r 2 = r 2 - 1

Elevando os dois lados ao quadrado

1 - r 2 2 = r 2 - 1 2

i

1 - r 2 = r 4 - 2 r 2 + 1

E agora ajeitando os termos

r 4 - r 2 = 0

Segue agora uma pequena substituição em v = r 2

Então

v 2 - v = 0 → v v - 1 = 0

Ou seja

v = 0 → r = 0 e v = 1 → r = ± 1

Como o raio é uma unidade de comprimento, só nos interessa saber que ele varia de 0 à 1 .

Enquanto θ deve varer tudo, ou seja θ ∈ 0,2 π .

Passo 3

Agora depois de todo o nosso sofrimento, chegamos em

V = ∬ R 1 - r 2 + 1 - r 2 r   d r   d θ

Onde o r que aparece fora do colchetes é do Jacobiano heim.

Assim ficamos com duas integrais definidas da seguinte forma

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r + ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r d θ

Que vai... diga ai, não é complicada. Olha tudo que fizemos até aqui.

A primeira integral, faça 1 - r 2 = u → r   d r =   - d u / 2 , na qual r = 0 → u = 1 e r = 1 → u = 0 a outra é um polimômio

V = 2 π ∫ 1 0 - u d u 2 + r 2 2 - r 4 4 0 1

A integral de u 1 / 2 é u 1 2 + 1 1 2 + 1 , ou seja

V = 2 π - 1 2 2 3 u 3 2 1 0 + 1 2 - 1 4

E finalmente

V = 2 π 1 3 + 1 4 = 7 π 6

Resposta

V = 7 π 6

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) j )x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)l) ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⋅ a 2 , z ≥ 0( a0 ) .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)f) x 2 + 4 ⋅ y 2 + 9 ⋅ z 2 ≤ 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)b) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 2 e 0 ≤ z ≤ x + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)i) x 2 + y 2 ≤ 1 e x 2 + z 2 ≤ 1 .