Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 10
Seja uma curva de classe e seja um campo escalar contínuo na imagem de . Seja dada por
Prove que
Passo 1
Vamos inicialmente descrever o Teorema que nos é incumbino nesta seção.
Teorema: Seja um campo vetorial contínuo no aberto e sejam e , duas curvas de classe
a) Se for obtido de por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então
b) Se for obtido de por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então
Assim vamos tentar usar de alguma forma nosso teorema.
Passo 2
Assim como sugerido no nosso enunciado, temos que . Deste caso, temos que como é uma parametrização de
Observe que, quando e . Assim temos que é uma parametrização reversa da parametrização reversa de , ou seja, ao final temos que é uma função que mantem a orientação de . Neste caso temos que