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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 4

Calcule a massa sólido x + y + z ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo a densidaded dada por x , y , z = x + y .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a massa do sólido utilizando a integral tripla. Para isso vamos precisar encontrar a densidade do cubo e aplicar os limites.

Passo 2

Bom, vamos começar! Já temos qual a nossa função densidade. Assim, tudo que precisamos fazer é aplicar na integral tripla e calcular. Vamos fazer juntos! Temos que a equação é escrita da seguinte forma

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z  

Reduzindo a integral tripla para uma dupla, ficamos com

∫ ∫ K ∫ 0 1 - x - y x + y ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K x ⋅ z + y ⋅ z 0 1 - x - y ⋅ d x ⋅ d y =

∫ ∫ K 1 - x - y ⋅ ( x + y ) ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K é x + y ≤ 1 , x ≥ 0   e   y ≥ 0 . Vamos aplicar uma transformação, chamando x = v e x + y = u , assim ficamos com

x = v

y = u - v

Calculando nosso jacobiano, vemos que d x ⋅ d y = 1 ⋅ d u ⋅ d v . Assim, substituindo na integral

∫ 0 1 ∫ v 1 1 - u ⋅ u ⋅ d u ⋅ d v = ∫ 0 1 1 6 - v 2 2 + v 3 3 ⋅ d v = 1 6 ⋅ v - v 3 6 + v 4 12 0 1 =   1 12

Resposta

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 1 12

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Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x d V Onde T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y 2 + z = 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é a região acima do plano xy delimitada por z = 4 - x 2 ,y = 0ey = 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é a região delimitada por z =x 2 + y 2 ,y + x = 2 ,x = 0 , y = 0ez = 0 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y z 2 d V Onde T é o paralelepipido retângulo 0,1×0,2 ×[ 1,3 ] .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é a região do primeiro octante limitada por x=4 - y 2 ,y = z ,x = 0 ,z = 0 .