Calcule o centro de massa da Semi-esfera homogênia e .

O que precisamos fazer inicialmente é definir nosso conjunto a partir de uma transformação do nosso sistema de coordenada. Nada melhor que integrar uma esfera usando coordenadas esféricas, não é mesmo ?

Então vamos tomar

Onde nossos limites serão

Desta forma temos uma semi-esfera com .

Lebrando que , ou seja, devemos lembrar de utilizar o jacobino em nossas transformadas. Para coordenada esféricas devemos lembrar que nosso jaconiano é .

Como se trata de uma esfera homogênia, temos

Agora queremos finalmente calcular as integrais, entretanto perceba que só precisamos calcular para . Uma vez que a semi-esfera é homogênia, temos que tanto para , quando para temos por simetria que o centro entra sobre o eixo . Assim vamos calcular

A integral em e é transquila de se calcular e ficamos com

Essa ultima integral resolvemos fazendo e assim tendo que quando e

Assim nossa integral se transforma da seguinte maneira

Agora vamos calcular o denominado, ou seja, nossa massa

Novamente temos integrais fáceis para e , assim ficamos com

Assim temos que