Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

f x = x 2 + p x + 2 ,     x ≠ 3 3                                           ,     x = 3

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Pronto, vamos usar as três condições para achar p .

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 3 :

A função nos diz que:

f 3 = 3

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora calcular o lim x → 3 ⁡ x 2 + p x + 2 e igualar a f 3 , satisfazendo a segunda e terceira condição:

lim x → 3 ⁡ x 2 + p x + 2 = f 3 → 3 2 + p ⋅ 3 + 2 = 3 → 9 + 3 p + 2 = 3 →

3 p = 3 - 2 - 9 → 3 p = - 8 → p = - 8 3

Então pronto, temos que p = - 8 3 de modo que a função seja contínua.

Resposta

p = - 8 3

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