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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 5

Calcule o momento de um fio γ t = t , 2 t , 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y , z = x + y + z , em torno do eixo O z .

Passo 1

Será que vocês lembram como calcular o momento de inércia?

Eu vou ajudar vocês. Tome que o momento de inércia é definido como

I = ∫ γ r 2 d m

Onde

d m = δ x , y , z   d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Imagine que nosso fio está no espaço x y z . Por pitagora, a distância de qualquer ponto do fio em relação ao eixo z é dada por

r 2 = x 2 + y 2

Outra informação que o problema dos dá é que

δ x , y , z = x + y + z

Com os valores que foram dados, temos que

r γ t 2 = 5 t 2

E

δ γ t = 6 t

Além disso não podemos esquecer que

γ ' t = 14

Passo 3

Agora que temos nossos fatores, podemos escrever nossa integral como

∫ 0 1 5 t 2 6 t 14 d t = 30 14 ∫ 0 1 t 3 d t = 15 14 2

Que era o que procuravamos

Resposta

15 14 2

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