Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (x + y) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (x + y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (x + y) d y] d x

A partir do esboço do conjunto B :

Pode-se observar que, devido à variação do valor da variável x , a figura pode ser separada ao meio, onde a equação das retas (que representam os lados do triângulo) se altera. Ainda, como o valor de x tem maior variação, torna-se mais conveniente deixá-lo em função da outra variável e manter y com variação constante.

Conclui-se, então, que os intervalos serão:

y <= x <= y + 2

E

0 <= y <= 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_(x = y)^(x = y + 2) (x + y) d x] d y

F = int_0^1 [x y + (x^2)/(2)] | [[x,=,y,+,2],[x,=,y]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_0^1 [(y + 2) y + ((y + 2)^2)/(2) - y^2 - (y^2)/(2)] d y

F = int_0^1 [4 y + 2] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

F = [2 y^2 + 2 y] | [[y,=,1],[y,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [2 + 2 - 0]

F = 4

Resposta

4

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