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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 15a

15. Calcule

a ) int s e n x s e n 3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos ( a + b )] . Logo,

int s e n x s e n 3 x d x = int (1)/(2) [cos (x - 3 x) - cos ( x + 3 x )] d x = (1)/(2) int [cos (- 2 x) - cos 4 x] d x

Passo 2

Precisamos lembrar que int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Então,

(1)/(2) int [cos (- 2 x) - cos 4 x] d x = (1)/(2) ((1)/((- 2)) sin (- 2 x) - (1)/(4) sin 4 x) + k

= - (1)/(4) sin (- 2 x) - (1)/(8) sin 4 x + k

Como seno é uma função ímpar, sin (- 2 x) = - sin 2 x . Ficamos com:

= - (1)/(4) sin (- 2 x) - (1)/(8) sin 4 x + k = (1)/(4) sin 2 x - (1)/(8) sin 4 x + k

Resposta

Portanto, a resposta de integral é

int s e n x s e n 3 x d x = (1)/(4) sin 2 x - (1)/(8) sin 4 x + k

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