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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 6

  1. Calcule int_0^1 F (x) d x onde F (x) = int_1^x e^(- t^2) d t . (Sugestão: integre por partes.)

Passo 1

Como o enunciado nos deu a dica de integrar por parte, vamos fazer isso. Quando queremos integrar por partes entre dois pontos definidos, temos que fazer o seguinte:

int_a^b u d v = [u v]_a^b - int_a^b v d u

Passo 2

Nossa expressão é a seguinte:

int_0^1 F (x) d x

Comparando com:

int u d v

Temos o seguinte:

u = F (x) e d v = d x

Logo,

d u = F ' ( x ) e v = x

Passo 3

Usando integração por partes:

int_0^1 u d v = [u v]_0^1 - int_0^1 v d u

Trocando pelas variáveis que encontramos no Passo 2:

int_0^1 F (x) d x = [F (x) x]_0^1 - int_0^1 x F ' ( x )

Por fim,

int_0^1 F ( x ) d x = [x int_1^x e^(- t^2) d t]_0^1 - int_1^x x F ' ( x )

Resposta

int_0^1 F ( x ) d x = [x int_1^x e^(- t^2) d t]_0^1 - int_1^x x F ' ( x )

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