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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1c

Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades.

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

Onde

γ 1 t = cos ⁡ t , s e n   t , 0 ≤ t ≤ 2 π , e

γ 2 u = cos ⁡ ( 2 π - u ) , s e n   2 π - u ,   0 ≤ u ≤ 2 π

Passo 1

Vamos inicialmente descrever o Teorema que nos é incumbino nesta seção.

Teorema: Seja F → um campo vetorial contínuo no aberto Ω ⊂ R n e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω , duas curvas de classe C 1

a) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

b) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

Assim vamos tentar usar de alguma forma nosso teorema.

Passo 2

Então vamos fazer uma simples transformação em nossas coodernadas. Fazendo g u = 2 π - u , simples não?

Assim temos que

γ 2 u = γ 1 g u

Onde γ 2 é obtida através de uma transformação que reverte a orientação. Assim pelo teorema da seção 6.3, temos que

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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