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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7c

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

c.

F x , y = 3 x 2 + 2 y - y 2 e x ,   2 x - 2 y e x

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

F = ∇ U

F = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria C . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que

C = 0

Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

F x , y = 3 x 2 + 2 y - y 2 e x ,   2 x - 2 y e x

Vamos integrar em relação a x primeiro.

U x =   3 x 2 + 2 y - y 2 e x

𝑈= 𝑥3+2𝑥𝑦− 𝑦2 𝑒𝑥 U = x 3 + 2 x y - y 2 e x + g ( y )

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como y é nossa constante nessa integral parcial, então essa “constante” será (se existir) uma função que depende apenas de y, pois

d d x   g y = 0

Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y

U y =     2 x - 2 y e x

U = 2 x y - y 2 e x + C

Agora o que fazemos é comparar as duas integrais parciais.

U = x 3 + 2 x y - y 2 e x + g ( y )

U = 2 x y - y 2 e x + C

Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que

g y = C

Como C é arbitrário. Logo nossa função potencial é

U = x 3 + 2 x y - y 2 e x

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

U = x 3 + 2 x y - y 2 e x

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