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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7b

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

b.

F x , y = 2 x y 2 - y 3 ,   2 x 2 y - 3 x y 2 + 2

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

F = ∇ U

F = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria C . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que

C = 0

Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

F x , y = 2 x y 2 - y 3 ,   2 x 2 y - 3 x y 2 + 2

Vamos integrar em relação a x primeiro.

U x =   2 x y 2 - y 3  

U = x 2 y 2 - x y 3 + g y

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como y é nossa constante nessa integral parcial, então essa “constante” será (se existir) uma função que depende apenas de y, pois

d d x   g y = 0

Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y

U y =   2 x 2 y - 3 x y 2 + 2  

U = x 2 y 2 - x y 3 + 2 y + C

Agora o que fazemos é comparar as duas integrais parciais.

U = x 2 y 2 - x y 3 + g y

U = x 2 y 2 - x y 3 + 2 y + C

Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que

g y = 2 y + C

Como C é arbitrário. Logo nossa função potencial é

U = x 2 y 2 - x y 3 + 2 y

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

U = x 2 y 2 - x y 3 + 2 y

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