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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4e

4. Calcule

int_C F * d vec r

Onde

e. F (x , y , z) = (x , y , x z - y) e C é de reta de (0,0 , 0) a (1,2 , 4)

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

int_C F * d vec r

Logo se dissermos que

r = gamma (t)

d r = gamma^' (t) d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

int_C F * d vec r = int_(t_0)^(t_1) F (gamma ( t )) * gamma^' (t) d t

Bora cair dentro!!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a reta de (0,0 , 0) a (1,2 , 4) , logo podemos pensar numa parametrização tranquilinha

gamma (t) = (t , 2 t , 4 t)

gamma^' (t) = (1 , 2 , 4)

Com o seguinte intervalo

t in [0 , 1]

Agora basta parametrizarmos nossa função

F (x , y , z) = (x , y , x z - y)

F (gamma (t)) = (t , 2 t , 4 t^2 - 2 t)

Passo 3

Bora integrar!

int_C F * d vec r = int_(t_0)^(t_1) F (gamma ( t )) * gamma^' (t) d t

= int_0^1 (t , 2 t , 4 t^2 - 2 t) * (1 , 2 , 4) d t

= int_0^1 ( t + 4 t + 16 t^2 - 8 t ) d t

= int_0^1 ( - 3 t + 16 t^2 ) d t

= ([- (3)/(2) t^2 + (16)/(3) t^3]|_0^1

= - (3)/(2) + (16)/(3)

= (- 9 + 32)/(6)

= (23)/(6)

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int_C F * d vec r = (23)/(6)

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