4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

e. F(x, y, z) = (x, y, xz-y) e C é de reta de (0.0, 0) a1,2, 4

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro!!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a reta de   0,0 , 0 a   1,2 , 4 , logo podemos pensar numa parametrização tranquilinha

γ t = t   ,   2 t , 4 t

γ ' t = 1 ,   2 ,   4

Com o seguinte intervalo

t ∈ 0 , 1

Agora basta parametrizarmos nossa função

F   x , y , z = x , y , x z - y

F   γ t = t , 2 t , 4 t 2 - 2 t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t   d t

=   ∫ 0 1 t , 2 t , 4 t 2 - 2 t ⋅ 1 ,   2 ,   4 d t

=   ∫ 0 1 ( t + 4 t + 16 t 2 - 8 t ) d t

=   ∫ 0 1 ( - 3 t + 16 t 2 ) d t

=   - 3 2 t 2 + 16 3 t 3 0 1

=   - 3 2 + 16 3

= - 9 + 32 6

= 23 6

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → = 23 6

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