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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 1-b

  1. Calcule

b )   ∫ γ y   d x + x 2   d y

Onde γ é uma curva cuja imagem é o segmento de extremidades (1,1) e (2,2) , orientada de (1,1) para (2,2)

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) y   d x + x ²   d y

Aplicando o ∇ × F = 0

Termos que satisfazer

d Q d x = d P d y

E no nosso caso fica

d d x x 2 = d P d y y

2 x ≠ 1

Logo Essa função não admite ∇ ϕ

Passo 3

Temos que então calcular na raça essa integral

∫ γ y   d x + x 2   d y

Um jeito possível é parametrizar. Eu sugiro a seguinte parametrização (existe varias formas de parametrizar, escolha a que for mais fácil )

γ t = t , t

γ ' t = 1 , 1

1 < t < 2

Visto que “ γ é uma curva cuja imagem é o segmento de extremidades (1,1) e (2,2) , orientada de (1,1) para (2,2)”. Quando pegamos

2,2 - 1,1  

Obtermos o vetor

1,1

E usamos isso para parametrizar

Passo 4

Se você prestar atenção, No fundo estamos fazendo

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t   d t

Vamos calcular então

∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t   d t

∫ 1 2 t ,   t 2 ⋅ 1,1   d t

∫ 1 2 t + t 2   d t

=   t 2 2 + t 3 3 1 2

= 23 6

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ y   d x + x 2   d y = 23 6

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