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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 1-c

  1. Calcule a derivada da função dada

c ) h (x) = int_0^x s e n (x ² t ²) d t

Passo 1

Aqui temos uma complicação porque sabemos fazer

(d)/(d x) int_0^a s e n (x ² t ²) d t

Ou

(d)/(d x) int_0^x s e n (a^2 t ²) d t

Mas os dois juntos não é tão trivial. Para resolver isso vamos usar a regra da Cadeia. Digamos que varphi seja função de u e v

h (x) = varphi (u , v) = int_0^u s e n (v^2 t^2) d t

Se quisermos derivar h teremos que fazer

h^' (x) = varphi^' (u , v) = (d varphi)/(d u) (d u)/(d x) + (d varphi)/(d v) (d v)/(d x)

Passo 2

Assim podemos calcular, visto que no nosso caso

u = v = x

Dessa forma nossa função h fica

(d)/(d x) int_0^x s e n (x ² t ²) d t = sin x^4 + 2 x int_0^x t^2 cos (x^2 t^2) d t

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

(d)/(d x) int_0^x s e n (x ² t ²) d t = sin x^4 + 2 x int_0^x t^2 cos (x^2 t^2) d t

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