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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 1-c

  1. Calcule

c )   ∫ γ - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2   d y

Onde γ :   0,1 → R ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no semiplano y>0 tal que γ 0 = 1,1 e   γ 1 = - 2,3

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

∫ γ - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2   d y

Aplicando o ∇ × F = 0

Termos que satisfazer

d Q d x = d P d y

E no nosso caso fica

d d x x x 2 + y 2 = d d y - y x 2 + y 2

y ² -   x 2 y 2 + x 2 2 =   y ² -   x 2 y 2 + x 2 2

Show!!! Nossa Função admite uma energia potencial

Passo 3

Nossa função F x , y = ( - y x 2 + y 2   ,   x x 2 + y 2   ) . Quando dizemos que

F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Vamos descobrir ϕ  

d d x ϕ = - y x 2 + y 2

ϕ = - a r c t a n   x y + Γ y

Agora vamos descobrir se há alguma função dependente exclusivamente de y

d d y ϕ = x x 2 + y 2

ϕ = - a r c t a n   x y

Como as duas funções são iguais, então achamos nossa função potencial

Passo 4

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Agora so nos resta aplicar os pontos em ϕ . O enunciado nos diz

γ 0 = 1,1

  γ 1 = - 2,3

Logo temos que

ϕ B - ϕ A

=   ϕ - 2,3 - ϕ 1,1

=   - a r c t a n   - 2 3 + a r c t a n   1 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2   d y =   a r c t a n   2 3 + a r c t a n   1  

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