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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9q

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x)/(cos s ec x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x

e

g (x) = cossec x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x)/(cossec x))^' = ((x)^' * (cossec x) - (x) * (cossec x) ')/((cossec x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(cossec (x))^' = - cossec (x) * cot g (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h^' (x) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (cossec x)^' = - cossec (x) cot g (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x)/(cossec x))^' = ((x)^' * (cossec x) - (x) * (cossec x) ')/((cossec x)^2) = (1 * (cossec x) - (x) * (- cossec (x) cot g (x)))/(cossec^2 x) = (cossec x + x cossec (x) cot g (x))/(cossec^2 x) = (1 + x cot g (x))/(cossec x)

Resposta

f^' ( x ) = (1 + x cotg (x))/(cossec x)

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