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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 5

Calcule ∫ γ y 2 d x + x d y - d z , onde γ é o poligonal de vértices A 0 = 0,0 , 0 , A 1 = 1,1 , 1 e A 2 = 1,1 , 0 , orientada de A 0 para A 2 .

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O Sentido que devemos adotar é o horário, ou seja, A → B → C

Passo 2

Vamos fazer por partes, no caso, 2 partes. Assim

Para γ 1 A → B

γ 1 t = t , t , t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 1 t = ( d t , d t , d t )

Para γ 2   B → C

γ 2 t = 1,1 , 1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 2 t = ( 0,0 , - d t )

Como a curva só está orientada até o A 2 , paramos nessa parte!

Passo 3

Assim teremos que

∫ 0 1 t 2 d t + t d t - d t - - d t

Que nos dá

∫ 0 1 ( t 2 + t ) d t = t 3 3 + t 2 2 0 1 = 1 3 + 1 2 = 5 6

Resposta

5 6

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