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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 8

O centro de massa de um fio γ : a , b → R 3 é o ponto x c , y c , z c dado por:

x c = ∫ γ x d m ∫ γ d m , y c = ∫ γ y d m ∫ γ d m ,   z c = ∫ γ z d m ∫ γ d m

Onde d m = δ x , y , z   d s é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.

  1. γ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t , 0 ≤ t ≤ π / 2
  2. γ t = t , t 2 , 0 ,   - 1 ≤ t ≤ 1

Passo 1

O bom que o exercício já adiantou algumas coisa pra gente. Ele já nos ensinou a a calcular o centro de massa, entretanto ainda precisamos lembrar o que o capítulo “Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco”, na qual uma função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

  1. Vamos calcular o valor de x c ,   y c , z c aplicando a transformação acima.

    2. Primeiro observe que o fio tem densidade homogênea, ou seja, δ x , y , z = k = M / L

    Tome que γ t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t → γ ' t = - s e n   t , cos ⁡ t ,   1 → γ ' t = 2

    Então

    ∫ γ x   d m = ∫ 0 π / 2 2   k cos ⁡ t d t =   2 k s e n π 2 - s e n   0 = 2 k

    Para y c

    ∫ γ y   d m = ∫ 0 π / 2 2 k   s e n   t   d t = - 2 k cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 = 2 k

    E para z c

    ∫ γ z   d m = ∫ 0 π 2 2 k   t d t = 2 k t 2 2 0 π 2 = 2 k π 2 8

    E calculando a massa

    ∫ γ d m = ∫ 0 π 2 2 k d t = 2 k π 2

    Com os valores calculados, podemos definir então que

    x c = 2 k 2 k π / 2 = 2 π = y c

    z c = 2 k π 2 / 8 2 k π / 2 = π 4

    Assim temos que o centro de massa será em

    2 π , 2 π , π 4

    Passo 3

  2. Agora temos um novo γ

Então vamos seguir o mesmo roteiro, só que com o novo γ

Tome que γ t = t ,   t 2 ,   0 → γ ' t = 1,2 t , 0 → γ ' t = 1 + 4 t 2

Então

∫ γ x   d m = ∫ - 1 1 1 + 4 t 2   k   t   d t

Fazendo 1 + 4 t 2 = u → t   d t = d u / 8 com t = - 1 → u = 5 e t = 1 → u = 5

Já por perceber que temos o mesmo a integral vai de um valor a ele mesmo, a integral é nula.

Para y c

∫ γ y   d m = ∫ - 1 1 1 + 4 t 2 k   t 2   d t

Para essa integral, temos algo um pouco mais complicada. Fazendo t = tan ⁡ u , chegamos que

∫ γ y   d m = - ln ⁡ 5 + 2 + ln ⁡ 5 - 2 + 36 5 64

Sim, bem feio.

E para z c

∫ γ z   d m = ∫ - 1 1 1 + 4 t 2   k   0   d t = 0

E calculando a massa

∫ γ d m = ∫ - 1 1 1 + 4 t 2 k d t

Seguindo a mesma substituição que utilizamos na segunda integral, temos

∫ γ d m = 4 5 + ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2 4

Com os valores calculados, podemos definir então que

x c = 0 = z c

y c = - ln ⁡ 5 + 2 + ln ⁡ 5 - 2 + 36 5 64 4 5 + ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2 4 = - ln ⁡ 5 + 2 + ln ⁡ 5 - 2 + 36 5 16 4 5 + ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2

Resposta

  1. 2 π , 2 π , π 4
  2. 0 , - ln ⁡ 5 + 2 + ln ⁡ 5 - 2 + 36 5 16 4 5 + ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2 , 0
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