Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 8
O centro de massa de um fio é o ponto dado por:
,
Onde é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.
- ,
Passo 1
O bom que o exercício já adiantou algumas coisa pra gente. Ele já nos ensinou a a calcular o centro de massa, entretanto ainda precisamos lembrar o que o capítulo “Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco”, na qual uma função contínua, definida na imagem de , pode ser reescrita como
E será assim que podemos resolver
Passo 2
- Vamos calcular o valor de aplicando a transformação acima.
- Agora temos um novo
Primeiro observe que o fio tem densidade homogênea, ou seja,
Tome que
Então
Para
E para
E calculando a massa
Com os valores calculados, podemos definir então que
Assim temos que o centro de massa será em
Passo 3
Então vamos seguir o mesmo roteiro, só que com o novo
Tome que
Então
Fazendo com e
Já por perceber que temos o mesmo a integral vai de um valor a ele mesmo, a integral é nula.
Para
Para essa integral, temos algo um pouco mais complicada. Fazendo , chegamos que
Sim, bem feio.
E para
E calculando a massa
Seguindo a mesma substituição que utilizamos na segunda integral, temos
Com os valores calculados, podemos definir então que