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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Calcule ∫ γ x   d x - y   d y , onde γ é o segmento de extremidades 1,1 e 2,3 , percorridos no sentido de 1,1 para 2,3 .

Passo 1

Nosso problema é bastante simples. Vamos parametrizar nossa reta e descobri quem são nossos x , y , d x e d y e função de uma parâmetro t e qual será o seu limite de integração. Desta forma teremos todas as ferramentas necessárias para calcular nossa integral.

Passo 2

Vamos primeiro parametrizar a nossa reta. Vamos recordar geometria analítica, onde uma reta é definida como um ponto e um vetor. (poderíamos fazer esse passo direto, mas vamos brincar um pouco). Assim nosso ponto pode ser o primeiro ponto dado 1,1 , enquanto o nosso vetor será

v → = 2,3 - 1,1 = 1,2

Desta forma teremos que qualquer ponto x , y da nossa reta é dado por

x , y = 1,1 + t 1,2

Assim temos

x = 1 + t

y = 1 + 2 t

Com nosso t variando de 0 à 1 .

Se essas são nossas coordenadas, então derivando temos que

d x = d t e d y = 2 d t

Passo 3

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ γ x   d x - y   d y = ∫ 0 1 1 + t d t - 1 + 2 t 2 d t

Isolando d t e ajeitando os termos, ficamos com

= ∫ 0 1 - 1 - 3 t d t = - t - 3 t 2 2 0 1 = - 1 - 3 2 = - 5 2

Resposta

- 5 2

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Calcule ∫ γ xd x + yd y , sendo γ dada por x = t 2 e y = s e nt , 0 ≤ t ≤ π / 2 .
Calcule ∫ γ - y 4 x 2 + y 2 d x + x 4 x 2 + y 2 d y Onde γ tem por imagem a elipse 4 x 2 + y 2 = 9 e o sentido do percurso é o anti-horário.
Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = t , t 3 , - 1 ≤ t ≤ 1 , e γ 2 u = 1 - u , ( 1 - u 3 ,0 ≤ u ≤ 2
Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = cos ⁡ t , s e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π , e γ 2 u = cos ⁡ ( 2 π - u ) , s e n2 π