10. Calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Onde

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 - y , x , z 2

σ a superfície x 2   +   y 2   +   z 2   =   1 e a normal apontando para fora daesfera.

(Cuidado: O teorema da divergência não se aplica. Por quê? Aplique oteorema de Stokes a cada semi-superfície esférica e some.)

Passo 1

Neste caso não podemos usar o teorema de Stolkes por um único motivo. Não temos uma borda. Nossa superfície é fechada. Então a pergunta é o que fazer ? Poderíamos realmente calcular o fluxo dessa função , mas vou te ensinar um truque. O teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados