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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 10

10. Calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Onde

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 - y , x , z 2

σ a superfície x 2   +   y 2   +   z 2   =   1 e a normal apontando para fora daesfera.

(Cuidado: O teorema da divergência não se aplica. Por quê? Aplique oteorema de Stokes a cada semi-superfície esférica e some.)

Passo 1

Neste caso não podemos usar o teorema de Stolkes por um único motivo. Não temos uma borda. Nossa superfície é fechada. Então a pergunta é o que fazer ? Poderíamos realmente calcular o fluxo dessa função , mas vou te ensinar um truque. O teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

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Calcular ∬ S r o tg → ⋅ n → d S , sendo g → = ( x y 2 , x , z 3 ) e S qualquer superfície suave delimitada pela curva r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e nt , 1 ,0 ≤ t ≤ 2 π , com a normal apontada para cima
Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada ∮ C f → ⋅ d r → , sendo f → = e x 2 + 2 y , e y 2 + x , e x 2 e C a elipse x = cos ⁡ t ,y = 2s e nt ,z = 2 ,0 ≤ t ≤ 2 π .
Considere o escoamento bidimensional na região Ω = {(x, y) ∈ R 2 | − 3 v → x , y = 1 - x 2 9 j → .Desenhe tal campo de velocidade.O escoamento é irrotacional?
Calcule o rotacional. F → x , y , z =y z i → + x z j → + x y k →
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →