Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 8
Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio , em relação a um eixo cuja distância ao centro seja
Passo 1
Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação
Que é definido como nosso momento de inércia, na qual e é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...
(Teorema de Steiner ou dos iexos paralelos). Seja o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância .) Assim temos que
Passo 2
Tomando o nosso Teorema de Steiner, vamos calcular primeiro o nosso momento de inércia em relação ao centro de massa, tornando assim o exercício mais fácil. Não acredita? Olher o Exercício 6.
Pois bem, continuando ...
O que precisamos fazer inicialmente é definir nosso conjunto a partir de uma transformação do nosso sistema de coordenada. Nada melhor que integrar uma esfera usando coordenadas esféricas, não é mesmo ?
Então vamos tomar
Onde nossos limites serão
Lebrando que , ou seja, devemos lembrar de utilizar o jacobino em nossas transformadas. Para coordenada esféricas devemos lembrar que nosso jaconiano é .
Como se trata de uma esfera homogênia, temos
Passo 3
Agora queremos finalmente calcular as integrais, entretanto perceba que queremos calcular em relação a um eixo especifíco. Porém é importante sabermos que cada eixo tem uma contribuição para o centro de massa, ou seja
Entretanto pela simetria do problema, temos que , logo temos que
Assim temos que o momento de inércia com relação a um eixo é dado por
A integral em e é transquila de se calcular e ficamos com
E
Passo 4
Por fim podemos finalmente aplicar nosso teorema de Steiner e tomar que,