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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 8

Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio R , em relação a um eixo cuja distância ao centro seja h

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

(Teorema de Steiner ou dos iexos paralelos). Seja I c m o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e I o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância h .) Assim temos que I = I c m + M h 2

Passo 2

Tomando o nosso Teorema de Steiner, vamos calcular primeiro o nosso momento de inércia em relação ao centro de massa, tornando assim o exercício mais fácil. Não acredita? Olher o Exercício 6.

Pois bem, continuando ...

O que precisamos fazer inicialmente é definir nosso conjunto B a partir de uma transformação do nosso sistema de coordenada. Nada melhor que integrar uma esfera usando coordenadas esféricas, não é mesmo ?

Então vamos tomar

x = r cos ⁡ θ   s e n   ϕ

y = r   s e n   θ   s e n   ϕ

z = r cos ⁡ ϕ

Onde nossos limites serão

0 ≤ r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π

Lebrando que d m = δ x , y , z   d x   d y   d z = J   δ r , θ , ϕ d r   d θ   d ϕ , ou seja, devemos lembrar de utilizar o jacobino em nossas transformadas. Para coordenada esféricas devemos lembrar que nosso jaconiano é r 2 s e n ϕ .

Como se trata de uma esfera homogênia, temos δ x , y , z = δ r ,   θ ,   ϕ = k = M / V

Passo 3

Agora queremos finalmente calcular as integrais, entretanto perceba que queremos calcular em relação a um eixo especifíco. Porém é importante sabermos que cada eixo tem uma contribuição 1 / 2 para o centro de massa, ou seja

I 0 = 1 2 ( I x + I y + I z )

Entretanto pela simetria do problema, temos que I x = I y = I z = I k , logo temos que

I 0 = 3 2 I k

Assim temos que o momento de inércia com relação a um eixo é dado por

I k = 2 3 I 0 = 2 3 ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π r 2 k r 2   s e n   ϕ   d ϕ   d θ   d r

A integral em r e θ é transquila de se calcular e ficamos com

I k = 4 3 π k R 5 5 ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ

E

I k = 4 π k R 5 15 - cos ⁡ ϕ 0 π = 8 π k R 5 15 = 8 π R 5 15 3 M 4 π R 3 = 2 5 M R 2

Passo 4

Por fim podemos finalmente aplicar nosso teorema de Steiner e tomar que,

I = I c m + M h 2 = 2 5 M R 2 + M h 2

Resposta

I = 2 5 M R 2 + M h 2

Ver Outros Exercícios desse livro

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Calcule o cilindro homogêneo x - a 2 + y 2 ≤ a 2 e 0 ≤ z ≤ h Calcule o momento de inércia em relação à reta x = a e y = 0 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z .
Considere o cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 e suponha que a densidade no ponto ( x , y , z ) seja x : Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z . Calcule o centro de Massa
Encontre o centro de massa de uma solido de densidade constante delimitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente plano z=4Encontre o plano z = c que divide o solido em duas part
Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z = 0 , dos lados pleos cilindro elíptico x 2 + 4 y 2 = 4 e acima pelo plano z = 2 - x (veja a figura a seguir).Encontre x c . m e y c .
Mostre que o primeiro momento de inercia de um corpo no espaço em relação a qualquer plano passando pelo centro de massa do corpo é zero. (Sugestão, situe o centro de massa do corpo na origem e defina