Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 11

11. Calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

onde σ é a reunião das facesMNJ, OMN e ONJ do tetraedro abaixo, a normal apontando parafora do tetraedro e F x ,   y ,   z = - y   ,   x ,   x y z

MNJ é a superfície x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.(Sugestão: Aplique o teorema de Stokes a cada face e conclua que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r

Onde γ é a fronteira do triangulo OMJ orientada no sentido anti- horário)

Passo 1

Vamos usar um truque. Vamos fechar nossa superficie σ e utilizar o teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Passo 2

Então o truque consiste em dizer que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S + ∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V → 0

Onde σ 1 é o fundo do tetraedro. Assim

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S + ∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = - ∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Agora ao invés de calcular 3 superfícies, vamos fazer em apenas em 1. Sendo

F x ,   y ,   z = - y   ,   x ,   x y z

Passo 3

Vamos calcular

- ∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z - y x x y z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = x z , - x z , 2

Passo 4

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

z = 0

Assim a normal é

n → = 0,0 , 1 1  

A normal tem que apontar para fora do tetraedro então, temos sinal negativo aqui

n → = - 0,0 , 1 1  

Passo 5

Vamos calcular agora o fluxo

- ∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n →   d S

- ∫ ∫ σ 1   x z , - x z , 2 ⋅   - 0,0 , 1 1   d S

∫ ∫ σ 1   2 d S

OU seja é so área agora da nossa base do tetraedro , que podemos calcular usar área de triangulo

∫ ∫ σ 1   2 d S = 2 ⋅ 1 2 → 1  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. g )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1ez ≥ 0 , s
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. j )F → x , y , z = y i → + x j → + x z k → ,σ é a superfície z = x + y + 2ex 2 + y 2 4