Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:

  1. f (x , y , z) = x ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v) , 0 <= u <= 1 e u^2 <= v <= 1 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

(del sigma)/(del u) = (1,0 , 2 u)

(del sigma)/(del v) = (0,1 , 1)

Fazendo o produto vetorial agora:

(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,0,2,u],[0,1,1]]]

= vec i |[[0,2,u],[1,1]]| - vec j |[[1,2,u],[0,1]]| + vec k |[[1,0],[0,1]]|

= (- 2 u) vec i - vec j (1) + vec k ( 1 )

= - 2 u vec i - vec j + vec k

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 2 u)^2 + (- 1)^2 + 1^2) = sqrt(4 u^2 + 2)

Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos:

int_0^1 int_(u^2)^1 u sqrt(4 u^2 + 2 ) d v d u

int_0^1 u sqrt(4 u^2 + 2) - u^3 sqrt(4 u^2 + 2) d u

Integrando agora em u a gente fica com:

= [(1)/(12) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)) - ((3 u^2 - 1) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)))/(60)]_0^1

= (1)/(12) * 6^((3)/(2)) - (2 * 6^((3)/(2)))/(60) - (1)/(12) (2^((3)/(2))) - (2^((3)/(2)))/(60)

= (sqrt(6))/(2) - (sqrt(6))/(5) - (sqrt(2))/(6) - (sqrt(2))/(30)

= (9 sqrt(6) - 6 sqrt(2))/(30)

= (3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10)

E pronto!

Resposta

(3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10)

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