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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1a

Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:

  1. f (x , y , z) = x ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v) , 0 <= u <= 1 e u^2 <= v <= 1 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

(del sigma)/(del u) = (1,0 , 2 u)

(del sigma)/(del v) = (0,1 , 1)

Fazendo o produto vetorial agora:

(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,0,2,u],[0,1,1]]]

= vec i |[[0,2,u],[1,1]]| - vec j |[[1,2,u],[0,1]]| + vec k |[[1,0],[0,1]]|

= (- 2 u) vec i - vec j (1) + vec k ( 1 )

= - 2 u vec i - vec j + vec k

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 2 u)^2 + (- 1)^2 + 1^2) = sqrt(4 u^2 + 2)

Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos:

int_0^1 int_(u^2)^1 u sqrt(4 u^2 + 2 ) d v d u

int_0^1 u sqrt(4 u^2 + 2) - u^3 sqrt(4 u^2 + 2) d u

Integrando agora em u a gente fica com:

= [(1)/(12) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)) - ((3 u^2 - 1) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)))/(60)]_0^1

= (1)/(12) * 6^((3)/(2)) - (2 * 6^((3)/(2)))/(60) - (1)/(12) (2^((3)/(2))) - (2^((3)/(2)))/(60)

= (sqrt(6))/(2) - (sqrt(6))/(5) - (sqrt(2))/(6) - (sqrt(2))/(30)

= (9 sqrt(6) - 6 sqrt(2))/(30)

= (3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10)

E pronto!

Resposta

(3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10)

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Encontre a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do parabolóide z = x 2 + y 2 .
(a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1 ) com seis quadrados para estimar a área da superfície z = 1 1 + x 2 + y 2,0 ≤ x ≤ 6,0 ≤ y ≤ 4 .(b) Use um sistema de computação
Calcule as seguintes integrais de superfície: ∬ S y 2 + z 2d s , onde S é a superfície do sólido limitado pela parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e o cone z = x 2 + y 2 .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 3 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sx zd S S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5