Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

  1. f(x, y, z) = x; sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v), 0 <= u <= 1 e u^2 <= v <= 1

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 1

Fazendo o produto vetorial agora:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 1

= i → 0 2 u 1 1 - j → 1 2 u 0 1 + k → 1 0 0 1

= - 2 u i → -   j → 1 + k → ( 1 )

= - 2 u i → - j → + k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + - 1 2 + 1 2 = 4 u 2 + 2

Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos:

∫ 0 1 ∫ u 2 1 u 4 u 2 + 2     d v d u

∫ 0 1 u 4 u 2 + 2 - u 3 4 u 2 + 2   d u

Integrando agora em u a gente fica com:

= 1 12 4 u 2 + 2 3 2 - 3 u 2 - 1 4 u 2 + 2 3 2 60 0 1

= 1 12 ⋅ 6 3 2 - 2 ⋅ 6 3 2 60 - 1 12 2 3 2 - 2 3 2 60

= 6 2 - 6 5 - 2 6 - 2 30  

=   9 6 - 6 2 30

= 3 6 - 2 2 10

E pronto!

Resposta

3 6 - 2 2 10

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