Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo: f (x , y , z) = x ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v) , 0 <= u <= 1 e u^2 <= v <= 1 . Passo 1A gente tem que fazer: ∬_K f (sigma (u , v)) ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| d u d v Vamos começar fazendo as derivadas parciais: (del sigma)/(del u) = (1,0 , 2 u) (del sigma)/(del v) = (0,1 , 1) Fazendo o produto vetorial agora: (del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v) = [[[vec i,vec j,vec k],[1,0,2,u],[0,1,1]]] = vec i |[[0,2,u],[1,1]]| - vec j |[[1,2,u],[0,1]]| + vec k |[[1,0],[0,1]]| = (- 2 u) vec i - vec j (1) + vec k ( 1 ) = - 2 u vec i - vec j + vec k Passo 2Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula: ||(del sigma)/(del u) ^^ (del sigma)/(del v)|| = sqrt((- 2 u)^2 + (- 1)^2 + 1^2) = sqrt(4 u^2 + 2) Prontinho! Agora é só jogar tudo na fórmula com os intervalos: int_0^1 int_(u^2)^1 u sqrt(4 u^2 + 2 ) d v d u int_0^1 u sqrt(4 u^2 + 2) - u^3 sqrt(4 u^2 + 2) d u Integrando agora em u a gente fica com: = [(1)/(12) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)) - ((3 u^2 - 1) (4 u^2 + 2)^((3)/(2)))/(60)]_0^1 = (1)/(12) * 6^((3)/(2)) - (2 * 6^((3)/(2)))/(60) - (1)/(12) (2^((3)/(2))) - (2^((3)/(2)))/(60) = (sqrt(6))/(2) - (sqrt(6))/(5) - (sqrt(2))/(6) - (sqrt(2))/(30) = (9 sqrt(6) - 6 sqrt(2))/(30) = (3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10) E pronto! Resposta (3 sqrt(6) - 2 sqrt(2))/(10) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosEncontre a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do parabolóide z = x 2 + y 2 .(a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 15.1 ) com seis quadrados para estimar a área da superfície z = 1 / (1 + x^2 + y^2), 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4 .(b) Use um sistema de compCalcule as seguintes integrais de superfície: ∬ S y 2 + z 2d s , onde S é a superfície do sólido limitado pela parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e o cone z = x 2 + y 2 .Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3x + 3y^2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , (0,1) e (2,1)Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sx zd S S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5Ver TambémVer Livro Guidorizzi - Vol 3Ver tudo sobre Integrais de SuperfícieLista de exercícios de Caso EscalarVer exercício 9.3 - 6Ver exercício 9.4 - 1b