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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1j

Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

i )   f x , y , z = z 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ;   σ é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 ≤ 2 y .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos chamar x = u e y = v . Vamos ter a parametrização:

σ u , v = u , v ,   1 - u 2 - v 2

Daí as derivadas parciais são:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , - 2 u

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , - 2 v )

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - 2 u 0 1 - 2 v

= i → 0 - 2 u 1 - 2 v - j → 1 - 2 u 0 - 2 v + k → 1 0 0 1

= 2 u i → -   j → - 2 v + k → ( 1 )

= 2 u i → + + 2 v j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = 2 u 2 + 2 v 2 + 1 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1

Aí jogando na integral:

∬ K 1 - u 2 - v 2 1 + 4 u 2 + 4 v 2 4 u 2 + 4 v 2 + 1   d u d v

∬ K 1 - u 2 - v 2 d u d v

A gente vai resolver essa em coordenadas polares.

Passo 3

x = ρ c o s   θ y = ρ s e n   θ

Com isso a gente sabe que x 2 + y 2 = ρ 2 ,   certo? Olha só:

x 2 + y 2 = ρ 2 cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 θ

x 2 + y 2 = ρ 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

x 2 + y 2 = ρ 2

Nossa região é x 2 + y 2 ≤ 2 y . Que é o mesmo que isso aqui:

ρ 2 ≤ 2   ρ s e n   θ

ρ ≤ 2   s e n   θ

E o intervalo de θ é de 0 ≤ θ ≤ π porque a interseção é um semicírculo.

A função da integral é 1 - u 2 - v 2 , (como u = x   e   v = y   na parametrização), é o mesmo que:

1 - ( x 2 + y 2 ) , que como acabamos de ver, é o mesmo que:

∫ 0 π ∫ 0 2   s e n   θ ( 1 - ρ 2 )   ρ d ρ d θ

∫ 0 π ρ 2 2 - ρ 4 4 0 2   s e n   θ d θ  

= ∫ 0 π [ 4   s e n 2 θ 2 - 16 s e n 4 θ 4   d θ

= ∫ 0 π 2 s e n 2 θ - 4 s e n 4 θ   d θ

= - x 2 + s e n   2 x 2 - s e n   4 x 8 0 π

=   - π 2

E pronto! Essa é a integral😉

Resposta

- π 2

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