Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1l

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um paralelogramo e fazendo:

u = x - y

v = 2 x + y

Ou ainda:

x = (u + v)/(3)

y = (v - 2 u)/(3)

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Então:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[(1)/(3),(1)/(3)],[-,(2)/(3),(1)/(3)]]| = ((1)/(9)) + ((2)/(9)) = (1)/(3)

|(del (x , y))/(del (u , v))| = (1)/(3)

Portanto:

d x d y = (1)/(3) d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_u v , onde B = phi (B_u v) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um paralelogramo:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando - 2 x = y -> v = 0

Quando y = x -> u = 0

Quando x - pi = y -> u = pi

Quando y = - 2 x + pi -> v = pi

Dessa forma, tem-se:

B_u v = {(u , v) in R^2 | 0 <= u <= pi e 0 <= v <= pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (2 x + y) cos (x - y) d x d y = int int_B_u v [v c o s (u)] (1)/(3) d u d v

= (1)/(3) int_0^(pi) [v int_0^(pi) c o s u d u] d v

E, resolvendo-a:

= (1)/(3) int_0^(pi) v [s e n u] | [[pi],[0]] d v

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_0^(pi) v [s e n (pi) - s e n (0)] d v = 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + xd A , onde R é a região trapezoidal com vértices 1 ,0, 2 ,0, 0 ,2, 0 ,1
Seja f uma função contínua em 0 ,1 e seja R a região triangular com vértices 0 ,0 , 1 ,0 e 0 ,1 . Mostre que ∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 u f ud u
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R e x + yd A , onde R é dada pela inequação x + y ≤ 1
Determine o jacobiano da transformação.x = u v , y = v w , z = u w
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u