Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um paralelogramo e fazendo:

u = x - y

v = 2 x + y

Ou ainda:

x = (u + v)/(3)

y = (v - 2 u)/(3)

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Então:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[(1)/(3),(1)/(3)],[-,(2)/(3),(1)/(3)]]| = ((1)/(9)) + ((2)/(9)) = (1)/(3)

|(del (x , y))/(del (u , v))| = (1)/(3)

Portanto:

d x d y = (1)/(3) d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_u v , onde B = phi (B_u v) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um paralelogramo:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando - 2 x = y -> v = 0

Quando y = x -> u = 0

Quando x - pi = y -> u = pi

Quando y = - 2 x + pi -> v = pi

Dessa forma, tem-se:

B_u v = {(u , v) in R^2 | 0 <= u <= pi e 0 <= v <= pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (2 x + y) cos (x - y) d x d y = int int_B_u v [v c o s (u)] (1)/(3) d u d v

= (1)/(3) int_0^(pi) [v int_0^(pi) c o s u d u] d v

E, resolvendo-a:

= (1)/(3) int_0^(pi) v [s e n u] | [[pi],[0]] d v

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) int_0^(pi) v [s e n (pi) - s e n (0)] d v = 0

Resposta

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