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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1i

Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

i )   f x , y , z = 1 - x 2 ;   σ é a parte da superfície cilíndrica z 2 + x 2 = 1 que se encontra dentro do cone z ≥ x 2 + y 2 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos chamar x = u e y = v . Vamos ter a parametrização:

σ u , v = u , v ,   1 - u 2

Daí as derivadas parciais são:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , - u 1 - u 2

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , 0 )

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - u 1 - u 2 0 1 0

= i → 0 - u 1 - u 2 1 0 - j → 1 - u 1 - u 2 0 0 + k → 1 0 0 1

= u 1 - u 2 i → -   j → 0 + k → ( 1 )

= u 1 - u 2 i → + 0 j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = u 1 - u 2 + 0 2 + 1 2 = u 2 1 - u 2 + 1 = u 2 + 1 - u 2 1 - u 2 = 1 1 - u 2

Aí jogando na integral:

∬ K 1 - u 2   1 1 - u 2   d u d v

∬ K 1   d u d v

Ou seja, nosso trabalho agora se resume a calcular a área da região.

Passo 3

Vamos analisar nossa região de integração:

z 2 + x 2 = 1 → z = 1 - x 2

z ≥ x 2 + y 2

Ou seja, precisamos ter:

1 - x 2 ≥ x 2 + y 2

1 - x 2 ≥ x 2 + y 2

- 2 x 2 ≥ y 2 - 1

2 x 2 + y 2 ≤ 1

Que é uma superfície elíptica. Calculamos a área assim então:

A = a ⋅ b ⋅ π

A = 1 2 ⋅ 1 ⋅ π

A = π 2

Ou seja, a integral procurada resulta em π 2 .

Resposta

π 2

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