12. Calcule

b ) int sin 3 x cos 4 x d x

Passo 1

Vamos usar a identidade trigonométrica sin a cos b = (1)/(2) [sin (a + b) + sin ( a - b )]

int sin 3 x cos 4 x d x = int (1)/(2) [sin (3 x + 4 x) + sin ( 3 x - 4 x )] = (1)/(2) int ( sin 7 x + sin (- x) ) d x

Passo 2

Temos que int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , sendo alpha e k constantes. Assim,

(1)/(2) int ( sin 7 x + sin (- x) ) d x = (1)/(2) (- (1)/(7) cos 7 x - (1)/(( - 1 )) cos (- x)) + k

= - (1)/(14) cos 7 x + (1)/(2) cos (- x) + k

Como seno é uma função par, cos (- x) = cos x . Então,

- (1)/(14) cos 7 x + (1)/(2) cos (- x) + k = - (1)/(14) cos 7 x + (1)/(2) cos x + k

Resposta

Logo, o resultado dessa integral é

int sin 3 x cos 4 x d x = - (1)/(14) cos 7 x + (1)/(2) cos x + k

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