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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 13

13. a) Determine alpha e beta de modo que

sin 3 x sin 2 x = - (1)/(2) ( cos alpha x - cos beta x )

Passo 1

Antes de tudo, vamos usar a identidade trigonométrica sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos ( a + b )] . Substituindo,

sin 3 x sin 2 x = (1)/(2) [cos (3 x - 2 x) - cos ( 3 x + 2 x )] = (1)/(2) [cos x - cos 5 x]

Passo 2

Agora, vamos pôr esse valor que encontramos na primeira equação

sin 3 x sin 2 x = (1)/(2) (cos x - cos 5 x) = - (1)/(2) ( cos alpha x - cos beta x ) = (1)/(2) ( cos beta x - cos alpha x )

Ou seja,

(1)/(2) (cos x - cos 5 x) = (1)/(2) ( cos beta x - cos alpha x )

Para satisfazer essa igualdade teremos o seguinte sistema

{[[x = beta x => beta = 1],[5 x = alpha x => alpha = 5]])

Passo 3

Substituindo alpha e beta , temos

sin 3 x sin 2 x = (1)/(2) ( cos x - cos 5 x ) = - (1)/(2) ( cos 5 x - cos x )

Passo 4

b) Calcule int sin 3 x sin 2 x d x

Passo 5

Utilizaremos o valor encontrado antes, substituindo na integral

int sin 3 x sin 2 x d x = int [- (1)/(2) ( cos 5 x - cos x )] d x

Lembrando que int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Assim,

int [- (1)/(2) ( cos 5 x - cos x )] d x = - (1)/(2) ((1)/(5) sin 5 x - sin x) + k = - (1)/(10) sin 5 x + (1)/(2) sin x + k

Resposta

int sin 3 x sin 2 x d x = - (1)/(10) sin 5 x + (1)/(2) sin x + k

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