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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 18

Calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7

∑ i = 1 n 2 i ( 1 + i 2 )

Passo 1

Já vamos expandir esse termo geral para facilitar nossas vidas:

2 i 1 + i 2 = 2 i + 2 i 3

E nossa soma fica:

∑ i = 1 n 2 i + 2 i 3

E agora aplicamos a regra da soma para separar o termo geral em duas somas:

∑ i = 1 n 2 i + ∑ i = 1 n 2 i ³

Passo 2

Para a primeira soma extraímos a constante:

∑ i = 1 n 2 i = 2 ∑ i = 1 n i

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k = 1 2 n ( n + 1 )

= 1 2 n ( n + 1 )

E multiplicamos pela constante do início do passo:

= 2 ⋅ 1 2 n ( n + 1 )

  = n n + 1

Passo 3

Para a segunda soma também extraímos a constante:

∑ i = 1 n 2 i ³ = 2 ∑ i = 1 n i ³

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 3 = 1 4 n 2 n + 1 2 :

= 1 4 n 2 ( n + 1 ) 2

E multiplicamos pela constante do início do passo:

= 2 ⋅ 1 4 n 2 ( n + 1 ) 2

= 1 2 n 2 ( n + 1 ) 2

Passo 4

Finalmente, retomamos a soma principal:

∑ i = 1 n 2 i 1 + i 2 = ∑ i = 1 n 2 i + 2 i 3

= 1 2 n 2 ( n + 1 ) 2 + n ( n + 1 )

= n 3 + n 4 + n 2 2 + n 2 + n

Resposta

∑ i = 1 n 2 i 1 + i 2 = n 3 + n 4 + n 2 2 + n 2 + n

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