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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 31c

Calcule a soma

  1. sum_(k = 1)^n 4

  2. sum_(k = 1)^n c

sum_(k = 1)^n ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por separar o nosso somatório em dois somatórios. Portanto, temos:

sum_(k = 1)^n ( k - 1 ) = sum_(k = 1)^n k + sum_(k = 1)^n - 1

Passo 3

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

sum_(k = 1)^n c = c * n

Portanto, para n = n e c = - 1 , temos:

sum_(k = 1)^n - 1 = (- 1) * n = - n

Passo 4

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = n , temos:

sum_(k = 1)^(54) k = (n ( n + 1 ))/(2) = (n^2 + n)/(2)

Passo 5

Fazendo a soma, obtemos:

sum_(k = 1)^n ( k - 1 ) = sum_(k = 1)^n k + sum_(k = 1)^n - 1

sum_(k = 1)^n ( k - 1 ) = (n^2 + n)/(2) - n = (n^2 - n)/(2)

Resposta

sum_(k = 1)^n ( k - 1 ) = (n^2 - n)/(2)

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Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:b. - 3
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:a. 1
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:c. 0 .
A série no Exercício 6 também pode ser escrita como Escreva-a como uma soma começando com (a) n = - 1 , (b) n = 3 , (c) n = 20 .
A série no Exercício 5 também pode ser escrita como Escreva-a como uma soma começando com (a) n = - 2 , (b) n = 0 , (c) n = 5 .