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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 26

Calcule a soma

sum_(k = 1)^7 k ( 2 k + 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Multiplicando pelo valor de k , temos:

sum_(k = 1)^7 k ( 2 k + 1 ) = sum_(k = 1)^7 2 k^2 + k

Utilizando a regra da soma, separamos em dois somatórios:

sum_(k = 1)^7 2 k^2 + k = sum_(k = 1)^7 2 k^2 + sum_(k = 1)^7 k

E agora, utilizando a regra de multiplicação de uma constante, obtemos:

sum_(k = 1)^7 2 k^2 + sum_(k = 1)^7 k = 2 * sum_(k = 1)^7 k^2 + sum_(k = 1)^7 k

Passo 3

Separamos então o nosso somatório em dois somatórios. Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = 7 , temos:

sum_(k = 1)^7 k = (7 ( 7 + 1 ))/(2) = 28

Passo 4

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k^2 = (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6)

Portanto, temos:

sum_(k = 1)^7 k^2 = (7 ( 7 + 1 ) ( 14 + 1 ))/(6) = 140

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

sum_(k = 1)^7 k ( 2 k + 1 ) = 2 * 140 + 28 = 308

Resposta

sum_(k = 1)^7 k ( 2 k + 1 ) = 308

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