Calcule a soma

  1. ∑ k = 9 36 k

  2. ∑ k = 3 17 k 2

∑ k = 18 71 k ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Inicialmente precisamos mudar os valores do limite do somatório, pois começamos a contar a partir de k = 9 , e para aplicarmos as nossas regras, o valor de k deve ser igual a 1. Portanto, façamos um número i = k - 8 . Quando k = 9 , i = 1 . Já quando k = 36 , i = 28 . Portanto, escrevemos:

∑ k = 9 36 k = ∑ i = 1 28 ( i + 8 )

Passo 3

Agora, podemos utilizar as regras para separar o nosso somatório em dois somatórios. Assim temos:

∑ i = 1 28 ( i + 8 ) = ∑ i = 1 28 i + ∑ i = 1 28 8

E assim obtemos um somatório dos n primeiros números inteiros e de uma constante.

Passo 4

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

∑ k = 1 n c = c ⋅ n

Portanto, para n = 28 e c = 8 , temos:

∑ i = 1 28 8 = 8 ⋅ 28 = 224

Passo 5

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = 28 , temos:

∑ i = 1 28 i = 28 ( 28 + 1 ) 2 = 406

Passo 6

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 4 e 5 na relação descrita no Passo 3. Sendo assim, o somatório é igual a:

∑ k = 9 36 k = ∑ i = 1 28 ( i + 8 ) = 406 + 224 = 630

Resposta

∑ k = 9 36 k = 630

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