Enunciado

Calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7

∑ i = 1 20 3 i ( i 2 + 2 )

Passo 1

Bem, vamos começar expandindo o termo geral:

3 i i 2 + 2 = 3 i 3 + 6 i

E agora aplicamos a regra da soma para separar o termo geral em duas somas:

∑ i = 1 20 3 i 3 + ∑ i = 1 20 6 i

Passo 2

Para a primeira soma extraímos a constante:

∑ i = 1 20 3 i 3 = 3 ∑ i = 1 20 i 3

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 3 = 1 4 n 2 ( n + 1 ) 2 :

∑ i = 1 20 i 3 = 1 4 ⋅ 20 2 ( 20 + 1 ) 2

= 44100

E multiplicamos pela constate do início do passo:

= 3 ⋅ 44100

= 133560

Passo 3

Para a segunda soma também extraímos a constante:

∑ i = 1 20 6 i = 6 ∑ i = 1 20 i

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k = 1 2 n ( n + 1 ) :

= 1 2 ⋅ 20 ( 20 + 1 )

= 210

E multiplicamos pela constate do início do passo:

= 6 ⋅ 210

= 1260

Passo 4

Finalmente, retomamos a soma principal:

∑ i = 1 20 3 i ( i 2 + 2 ) = ∑ i = 1 20 3 i 3 + ∑ i = 1 20 6 i

= 132300 + 1260

= 133560

Resposta

∑ i = 1 20 3 i ( i 2 + 2 ) = 133560

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