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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 13

Calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7

∑ i = 1 25 2 i ( i - 1 )

Passo 1

Bem, vamos começar expandindo o termo geral:

2 i i - 1 = 2 i 2 - 2 i

E agora aplicamos a regra da soma para separar o termo geral em duas somas:

∑ i = 1 25 2 i 2 - ∑ i = 1 25 2 i

Passo 2

Para a primeira soma extraímos a constante:

∑ i = 1 25 2 i 2 = 2 ∑ i = 1 25 i 2

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) :

∑ i = 1 25 i 2 = 1 6 ⋅ 25 ( 25 + 1 ) ( 2 ⋅ 25 + 1 )

= 5525

E multiplicamos pela constate do início do passo:

= 5525 ⋅ 2

= 11050

Passo 3

Para a segunda soma também extraímos a constante:

∑ i = 1 25 2 i = 2 ∑ i = 1 25 i

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k = 1 2 n ( n + 1 ) :

= 1 2 ⋅ 25 25 + 1

= 325

E multiplicamos pela constate do início do passo:

= 2 ⋅ 325

= 650

Passo 4

Finalmente, retomamos a soma principal:

∑ i = 1 25 2 i i - 1 = ∑ i = 1 25 2 i 2 - ∑ i = 1 25 2 i

= 11050 - 650

= 10400

Resposta

∑ i = 1 25 2 i i - 1 = 10400

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