Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 3

3-4. Calcule a soma da série cujas somas parciais são dadas.

3.

Passo 1

Ei, gênio dos números! Preparado para usar todo o seu poder em cálculo nessa questão? Vamos lá!

Para resolver esse exercício, vamos lembrar alguns conceitos importantes sobre séries:

Uma série é uma expressão matemática que representa a soma de uma sequência infinita de termos.

A soma da série é a soma de todos os seus termos, desde o primeiro até o infinito.

Agora, aplicamos esses conceitos à série dada , com somas parciais representadas por . Lembrando que somas parciais são simplesmente a soma dos primeiros termos de uma série infinita, fornecendo uma maneira de acompanhar o total acumulando à medida que mais termos são adicionados.

Onde:

Para encontrar a soma da série, precisamos calcular o limite de à medida que tende ao infinito, desse jeito aqui:

Isso nos dará o valor para o qual a série converge, se convergir. Vamos lá fazer esses cálculos.

Passo 2

Para a sequência que nos foi dada, temos:

Temos que converge para 0 à medida que tende para o infinito. Isso ocorre porque 0,8 é um número entre 0 e 1, e quando qualquer número assim é elevado a uma potência crescente, o valor resultante diminui à medida que a potência aumenta.