Enunciado

3-4. Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ a n cujas somas parciais são dadas.

3. s n = 2 - 3 0,8 n

Passo 1

Ei, gênio dos números! Preparado para usar todo o seu poder em cálculo nessa questão? Vamos lá!

Para resolver esse exercício, vamos lembrar alguns conceitos importantes sobre séries:

Uma série é uma expressão matemática que representa a soma de uma sequência infinita de termos.

A soma da série é a soma de todos os seus termos, desde o primeiro até o infinito.

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n ⏝ n   v e z e s

Agora, aplicamos esses conceitos à série dada ∑ n = 1 ∞ a n , com somas parciais representadas por s n . Lembrando que somas parciais são simplesmente a soma dos primeiros n termos de uma série infinita, fornecendo uma maneira de acompanhar o total acumulando à medida que mais termos são adicionados.

Onde:

s n = 2 - 3 ( 0,8 ) n

Para encontrar a soma da série, precisamos calcular o limite de s n à medida que n tende ao infinito, desse jeito aqui:

∑ n = 1 ∞ a n = s n  

Isso nos dará o valor para o qual a série converge, se convergir. Vamos lá fazer esses cálculos.

Passo 2

Para a sequência que nos foi dada, temos:

∑ n = 1 ∞ a n = 2 - 3 0,8 n  

Temos que 0,8 n converge para 0 à medida que n tende para o infinito. Isso ocorre porque 0,8 é um número entre 0 e 1, e quando qualquer número assim é elevado a uma potência crescente, o valor resultante diminui à medida que a potência aumenta.

Ex: 0,8 1 = 0,8

              0,8 2 = 0,64

0,8 3 = 0,512

0,8 1000 = 2,03   x   10 - 10

Então, temos que:

2 - 3 0,8 n  

2   - 0,8 n  

Como 0,8 n = 0 :

2   - 0  

Passo 3

Aplicando o limite, ficaremos com:

s n   = 2 - 3 ( 0 ) = 2

Logo:

∴ ∑ n = 1 ∞ a n = 2

Resposta

∑ n = 1 ∞ a n = 2

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