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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 39

(a) Calcule a soma parcial s 5 da série ∑ n = 1 ∞ 1 n   2 n . Use o Exercício 34 para estimar o erro ao usar s 5 como uma aproximação da soma da série.

(b) Calcule um valor de n de maneira que s n aproxime a soma com precisão 0,00005 . Use esse valor de n para aproximar a soma da série.

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Vamos calcular a soma parcial?

s 5 = 1 2 + 1 8 + 1 24 + 1 64 + 1 160 ≈ 0,68854

Agora, segundo o Exercício 34 , o erro R n pode ser estimado usando a razão r n = a n + 1 a n . Bora calcular ela?

r n = n   2 n ( n + 1 )   2 n + 1 = 1 2 n n + 1

Passo 2

Pra saber qual expressão usar pra estimar o erro, temos que verificar se a sequência r n é crescente ou decrescente. Vamos calcular a derivada pra isso:

r n ' = 1 2 1   .   n + 1 - n   .   1 n + 1 2 = 1 2 n + 1 2

Como a derivada é sempre positiva, a sequência é crescente, e portanto, usaremos a seguinte desigualdade:

R n ≤ a n + 1 1 - L

onde L é o limite de r n .

L = l i m n → ∞   r n = l i m n → ∞   1 2 n n + 1 = l i m n → ∞   1 2 1 1 + 1 n = 1 2 1 1 + 0 = 1 2

Então,

R 5 ≤ a 6 1 - L = 1 6   2 6 1 - 1 2 ≈ 0,00521

Passo 3

(b) Pra achar um valor de n que dê essa precisão, usamos:

R n = a n + 1 1 - L < 0,00005

1 n + 1 2 n + 1 1 - 1 2 < 0,00005

n + 1 2 n > 20000

Usando um gráfico num computador, ou até mesmo por tentativa e erro, conseguimos chegar a:

n ≥ 11

pois 11 + 1 2 11 = 24576 .

Agora, pra aproximar a soma com essa precisão, calculamos s 11 :

s 11 = ∑ n = 1 11 1 n   2 n ≈ 0,693109

Resposta

(a) 0,68854   ,       e r r o < 0,00521

(b) n ≥ 11   ,       0,693109

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