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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 40

Utilize a soma dos primeiros dez termos para aproximar a soma da série

∑ n = 1 ∞ n 2 n

Use o Exercício 34 para estimar o erro.

Passo 1

Beleza, pessoal? Bora calcular a soma parcial dos dez primeiros termos?

s 10 = ∑ n = 1 10 n 2 n = 1 2 + 2 4 + 3 8 + 4 16 + 5 32 + 6 64 + 7 128 + 8 256 + 9 512 + 10 1024 ≈ 1,98828

Pra estimar o erro, precisamos saber quem é a razão r n = a n + 1 a n :

r n = n + 1 2 n 2 n + 1   n = n + 1 2 n

Passo 2

Show! Agora vamos analisar o sinal da derivada de r n :

r n ' = 1 . 2 n - n + 1 . 2 2 n 2 = - 2 2 n 2

Como a derivada é sempre negativa, temos que r n é decrescente, então usaremos a desigualdade a seguir pra estimar o erro R n :

R n ≤ a n + 1 1 - r n + 1 = a n + 1 1 - a n + 2 a n + 1

R 10 ≤ a 11 1 - a 12 a 11

Sendo a 11 = 11 2048 e a 12 = 12 4096 , teremos:

R 10 ≤ 0,012

Resposta

s 10 ≈ 1,98828   ,       e r r o ≤ 0,012

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