Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 30
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Fala aí, pessoal!
A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.
Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.
Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.
Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.
E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série dada é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.
Passo 2
O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,
O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima, lembrando que o denominador de an é o produto dos n primeiros termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e a razão é 3. Assim, temos que:
Segue, então, que:
Veja que os n primeiros termos da P.A. (5, 8, 11, ..., 3n+2) podem ser cortados ao fazermos o produto acima. Logo, temos que:
Como , segue que é positivo. Sendo assim, temos que:
Passo 3
Então, galera, nós já calculamos a razão . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:
Veja que, quando n fica cada vez maior, o valores de e se aproximam cada vez mais de zero. Assim, o numerador da razão se aproxima cada vez mais de 2 e o denominador, de 3. Com isso, temos que:
Como o limite é menor 1, o Teste da Razão nos garante que a série dada é absolutamente convergente, portanto converge.
Resposta
A série é absolutamente convergente pelo Teste da Razão.